Question

如图，在单位圆和x轴上各有动点A、B，它们的初始位置都在单位圆和x轴的交点P₀处，A处沿逆时针方向旋转θ=

π

4

得到A₁，B点沿x轴正方向移动θ=

π

4

个单位得到B₁，分别过A₁、B₁作x轴的平行线和垂线相交于P₁（x₁，y₁），A₁点再沿逆时针方向旋转θ=

π

4

得到A₂，B₁点沿x轴正方向移动θ=

π

4

个单位得到B₂，分别过A₂、B₂作x轴的平行线和垂线相较于P₂（x₂，y₂），…，如此下去得到P_n（x_n，y_n）（n为正整数）

（1）求点P₁的坐标；
（2）计算：y₁+y₂+…+y₂₀₁₁的值；
（3）由点P₀，P₁，…P_n连成的折线与x轴、P_nB_n所围成的区域面积记为S_n，求S₈．

Answer 1

分析：（1）根据定义求P₁的坐标．
（2）根据定义寻找y_n的规律，得到纵坐标取值的周期性，并根据规律进行求和．
（3）确定折现对应的图形，利用三角形或梯形的面积公式求面积．

解答：解：（1）根据定义
可知点P₁的横坐标x=1+

π

4

，
纵坐标为y=1×sin

π

4

=

2

2

，
即P₁的坐标：(1+

π

4

，

2

2

)．
（2）由定义可知，A沿逆时针方向旋转θ=

π

4

后，
得到每个点的纵坐标分别为

2

2

，1，

2

2

，0，-

2

2

，-1，-

2

2

，0，

2

2

，1，

2

2

，0，…，体现了周期性，周期数为8．
且在一个周期内的和为

2

2

+1+

2

2

+0-

2

2

-1-

2

2

+0=0，
所以y₁+y₂+…+y₂₀₁₁=y1+y2+y3=

2

2

+1+

2

2

=1+

2

．
（3）由题意知当n=8时，点A沿着单位圆运动一周，此时对应的折现面积上下两部分相同．
所以S8=2(S△P0B1P1+S梯形P1B1B2P2+S梯形P2B2B3P3+S△P3B3P4)
=4(S△P0B1P1+S梯形P1B1B2P2)=4[

1

2

×

π

4

×

2

2

+

( 2 2 +1)× π 4

2

]
=

2 π

4

+

2 π

4

+

π

2

=

2 π

2

+

π

2

=

2 +1

2

π．

点评：本题主要考查了新定义，考查学生阅读和分析问题的能力，综合性较强，难度较大．