Question

已知椭圆Γ：（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，过点F₁斜率为正数的直线交Γ于A，B两点，且AB⊥AF₂，|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列。
（1）求Γ的离心率；
（2）若直线y=kx（k＜0）与Γ交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值。

Answer 1

解：（1）根据椭圆定义及已知条件，有
|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a ①
|AF₂|+|BF₂|=2|AB| ②
|AF₂|²+|AB|²=|BF₂|² ③
由①、②、③，解得|AF₂|=a，|AB|=a，|BF₂|=a
所以点A为短轴端点，b=c=
Γ的离心率e==；
（2）由（1），Γ的方程为x²+2y²=a²
不妨设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）（x₁＜x₂），
则C、D坐标满足
由此得x₁=，x₂=
设C、D两点到直线AB：的距离分别为d₁、d₂，
因C、D两点在直线AB的异侧，则
d₁+d₂==
===
∴
设t=1-k，则t＞1，
当，即时，最大，进而S有最大值。