Question

已知椭圆，能否在y轴左侧的椭圆上找到一点M，使点M到左准线l的距离|MN|为点M到两焦点的距离的等差中项？若M存在，求出它的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：设存在符合题意的点M，其坐标为（m，n）（m＜0）
由椭圆的方程，可得a²=4，b²=3，∴c==1，
于是椭圆两个焦点的坐标分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）
且左准线l的方程为：，即x=-4，可得|MN|=m+4，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a=4
∴由|MN|是|MF₁|和|MF₂|的等差中项，得2|MN|=|MF₁|+|MF₂|=4，解之得|MN|=2，
∵|MN|=m+4，∴m+4=2，解之得m=-2，代入椭圆方程得n=0
因此，存在点椭圆上点M的坐标为（-2，0），满足点M到左准线l的距离|MN|为点M到两焦点的距离的等差中项．
分析：根据椭圆方程算出a²=4且c=1，从而得出左准线l的方程为：x=-4．设点M坐标为（m，n）即可得到|MN|=m+4．根据椭圆定义和题中的等差中项算出|MN|=2，从而解出m=-2，代入椭圆方程可得n的值，得到点M的坐标．
点评：本题给出椭圆方程，探索了椭圆上是否存在一点到左准线的距离是两条焦半径的等差中项的问题．着重考查了椭圆的定义、基本概念和简单几何性质等知识，属于中档题．