Question

设有两个命题p、q，其中命题p：对于任意的x∈R，不等式ax²+2x+1＞0恒成立；命题q：f（x）=（4a-3）^x在R上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据二次函数的性质，我们可得不等式ax²+2x+1＞0恒成立时，a的取值范围，根据指数函数的单调性我们可得f（x）=（4a-3）^x在R上为减函数时，a的取值范围，进而根据两个命题中有且只有一个是真命题，分p为真命题，q为假命题，和p为假命题，q为真命题两种情况讨论可得实数a的取值范围
解答：解：若命题p：对于任意的x∈R，不等式ax²+2x+1＞0恒成立
当a=0时，2x+1＞0不恒成立； 
当时?a＞1．
所以命题p为真命题?a＞1．
命题q为真命题?0＜4a-3＜1?＜a＜1．
∵两个命题中有且只有一个是真命题
若p为真命题，q为假命题，a＞1； 
若p为假命题，q为真命题，＜a＜1；
∴a的取值范围是（，1）∪（1，+∞）
故答案为：（，1）∪（1，+∞）
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，二次函数的图象和性质及指数函数的图象和性质，其中根据函数性质分析出两个命题对应的a的取值范围是解答的关键．