Question

某工厂销售甲、乙两种产品所能获得的利润P、Q与他们投入资金m万元，大致有以下关系：P=

m

，Q=

m+1

，现投入3万元资金，其中对甲产品投入x万元
（1）所获利润为y万元，将所获利润y表示为x的函数，并求其定义域；
（2）应如何分配资金，才能获取最大利润？最大利润是多少万元？

Answer 1

分析：（1）根据现投入3万元资金，其中对甲产品投入x万元求出随乙产品的投入，从而得到所获利润y关于x的函数，求出定义域即可；
（2）两边平方，然后利用基本不等式求出函数的最值，最后开方可求出最大利润，注意等号成立的条件．

解答：解：（1）∵现投入3万元资金，其中对甲产品投入x万元
∴乙产品投入3-x万元
∴y=

x

+

3-x+1

=

x

+

4-x

，定义域为{x|0≤x≤3}，
（2）y2=x+4-x+2

x(4-x)

=4+2

x(4-x)

≤8，
当且仅当x=2时，y²取得了最大值，
当且仅当x=2时，y 取得了最大值2

2

．
∴甲产品投入2万元，才能获取最大利润，最大利润是2

2

万元

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及函数的最值的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．