Question

半径为R的球O中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的表面积的比值为（　　）

• A．

  3

  4

• B．1
• C．

  4

  3

• D．2

Answer 1

分析：设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的比值．

解答：解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，
则r=Rcosα，圆柱的高为2Rsinα，圆柱的侧面积为：2πR²sin2α，
当且仅当α=

π

4

时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，
圆柱的侧面积为：2πR²，球的表面积为：4πR²，
球的表面积与该圆柱的侧面积之比是：2：1．
故选D．

点评：本题考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型．是基础题，