Question

已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}为等比数列．
（1）若a_n=

lgb 1+lgb2+…+lgbn

n

（其中b₁=1，b_n＞0，n∈N^*），试求数列{a_n}的公差d与数列{b_n}的公比q之间的关系式；
（2）若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n2ⁿ⁺³，且a₁=8，试求数列{a_n}与{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的通项公式及对数的运算性质可把a_n化为lgb1q

n-1

2

，同理可化a_n+1为lgb1q

n

2

，根据a_n+1-a_n=d可得d与q的关系式；
（2）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n2ⁿ⁺³，①得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n+a_n+1b_n+1=（n+1）2ⁿ⁺⁴，②两式相减得a_n+1b_n+1=（n+2）2ⁿ⁺³，把a_n+1=8+nd代入上式可表示出b_n+1，根据

bn+2

bn+1

为常数可得等式，解出即可；

解答：解：（1）a_n=

lgb 1+lgb2+…+lgbn

n

=

lgb1b2…bn

n

=

lgb1nq n(n-1) 2

n

=

nlgb1q n-1 2

n

=lgb1q

n-1

2

，
an+1=

lgb1+lgb2+…+lgbn+1

n+1

=

lgb1n+1q n(n+1) 2

n+1

=

(n+1)lgb1q n 2

n+1

=lgb1q

n

2

，
∴a_n+1-a_n=lgb1q

n

2

-lgb1q

n-1

2

=lg

b1q n 2

b1q n-1 2

=lgq

1

2

=d，
∴10^2d=q；
（2）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n2ⁿ⁺³，①
得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n+a_n+1b_n+1=（n+1）2ⁿ⁺⁴，②
②-①得a_n+1b_n+1=（n+2）2ⁿ⁺³，
∵a_n+1=8+nd，∴bn+1=

(n+2)•2n+3

8+nd

，
则

bn+2

bn+1

=

(n+3)•2n+4(8+nd)

(n+2)•2n+3[8+(n+1)d]

=

2(n+3)(8+nd)

(n+2)[8+(n+1)d]

=

2dn2+(6d+16)n+48

dn2+(3d+8)n+2d+16

，
∵{b_n}为等比数列，∴上述比式为常数，
则2d：d=（6d+16）：（3d+8）=48：（2d+16），
解得d=4，则q=2，
故a_n=8+（n-1）×4=4n+4，
由a1b1=24，得b₁=2，∴bn=2•2n-1=2n．

点评：本题考查等差数列、等比数列的定义及其通项公式，运算量较大，对能力要求较高．