Question

如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点p（x，y）的轨迹方程是y=f（x），设f（x）的最小正周期为T，y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为S，则ST=

4（π+1）

．（说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．）

Answer 1

分析：正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．

解答：解：从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，
这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．
下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，
P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动 14个圆，该圆半径为1，
然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，
然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，
因此最终构成图象如下：

S=2×

1

4

×π+2×

1

2

×1×1+

1

4

×2π=π+1
故答案为：4（π+1）．

点评：本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．