Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵g（x）=，x＞0，故其定义域为（0，+∞）
∴，
令g′（x）＞0，得0＜x＜e
令g′（x）＜0，得x＞e
故函数的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
（Ⅱ）∵，∴k，
令
又，
令h′（x）=0，解得，
当x在（0，+∞）内变化时，h′（x），h（x）变化如下表

x
h′（x）	+	0	-
h（x）	↗		↘

由表知，当时函数h（x）有最大值，且最大值为
所以．
分析：（Ⅰ）由g（x）=，知，由此能求出函数的单调区间．
（Ⅱ）由，知k，令，知，由此能求出实数k的取值范围．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．