Question

以下有四种说法：
（1）若p∨q为真，p∧q为假，则p与q必为一真一假；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n+1，n∈N^*，则a_n=2n，n∈N^*；
（3）若f′（x₀）=0，则f（x）在x=x₀处取得极值；
（4）若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），则6为函数f（x）的周期．
以上四种说法，其中正确说法的序号为

①④

．

Answer 1

分析：（1）由命题真假判断的真值表即可判断①的正误；
（2）由数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n+1中的常数项不为0，可知数列{a_n}不是等差数列，从而可判断其正误；
（3）可举例y=x³，当x=0时，f′（0）=0，f（x）在x=0处不取得极值；
（4）可令t=x-1，证得f（t+3）=-f（t），从而可判断（4）正确．

解答：解：对于（1），∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q必为一真一假，故（1）正确；
（2）中，∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n+1中的常数项不为0，
∴数列{a_n}不是等差数列，
∴a_n=2n，n∈N^*是错误的，应为分段函数（当n=1时，a₁=3；当n≥2时，a_n=2n，n∈N^*）；
对于（3），不妨令y=x³，y′=3x²，当x=0时，f′（0）=0，但x=0不是零点，f（x）在x=0处不取得极值，故（3）错误；
对于（4），令t=x-1，则f（t+3）=-f（t），
∴f[（t+3）+3]=-f（t+3）=f（t），
即f（t+6）=f（t），从而f（x+6）=f（x），
∴6为函数f（x）的周期，故（4）正确．
综上所述，（1）（4）正确．
故答案为：（1）（4）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的周期的判断，考查数列与导数，掌握各部分的基础知识是综合应用的关键，属于中档题．