Question

已知顶点为原点O，焦点在x轴上的抛物线，其内接△ABC的重心是焦点F，若直线BC的方程为4x+y-20=0．
（1）求抛物线方程；
（2）轴上是否存在定点M，使过M的动直线与抛物线交于P，Q两点，满足∠POQ=90°？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先设抛物线方程为y²=4px，然后表示出焦点坐标，抛物线和直线方程联立可消去y得到4x²-（p+40）x+100=0，进而可得到B，C的横坐标之和与纵坐标之和，再由A点在抛物线上得到坐标满足抛物线方程，最后将A，B，C的坐标代入△ABC重心坐标公式可求得p的值，从而确定抛物线方程．
（2）先设点M、P、Q的坐标：
①当直线斜率不存在时构造向量

OQ

、

OP

，然后根据∠POQ=90°得到两向量的数量积等于0可得到M的坐标；
②当斜率存在时，构造直线方程然后与抛物线联立消去x，可以得到两根之和、两根之积，同样构造向量

OQ

、

OP

，然后根据∠POQ=90°得到两向量的数量积等于0，可得到M的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的方程为y²=4px，则其焦点为（p，0）
与直线方程4x+y-20=0联立，有：（-4x+20）²=4px
∴4x²-（p+40）x+100=0，且y=-4x+20
该方程的解为B，C两点的坐标（x₂，y₂），（x₃，y₃）
x₂+x₃=

p+40

4

（1）
y₂+y₃=-4（x₂+x₃）+40=-p （2）
设A（x₁，y₁）
∵A在抛物线上
∴y₁²=4px₁（3）
△ABC重心坐标为：（

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

）
∵重心为抛物线焦点
∴

x1+x2+x3

3

=p，

y1+y2+y3

3

=0
将（1），（2）代入，得：
x₁+

p+40

4

=3p，y₁-p=0
与（3）联立，三个方程，x₁，y₁，p三个未知数，可解
解得：p=4
故抛物线的方程为y²=16x．
（2）设点M（a，b）  P（x₄，y₄）  Q（x₅，y₅）
①当直线L的斜率不存在时   即  x₄=x₅=a   且 a＞0
则：令  y₄=4

a

，y₅=-4

a

∵∠POQ=90°∵

OQ

=（a，-4

a

），

OP

=（a，4

a

）
∴

OQ

•

OP

=a²-16a=0
解得：a=16   或  a=0（舍去）
②当直线L的斜率存在时，设斜率为k，则直线L的方程为：
y-b=k（x-a） （k≠0）
∴联立方程：

y-b=k(x-a) y2=16x

消去 x 得：ky²-16y+16b-16ka=0
∴y₄+y₅=

16

k

，y₄•y₅=

16b-16ka

k

∴x₄•x₅=

(ka-b)2

k2

∵∠POQ=90°
∴

OQ

•

OP

=x₄•x₅+y₄•y₅=

16b-16ka

k

+

(ka-b)2

k2

=0
即：k²（a²-16a）+k（16b-2ab）+b²=0对任意的k≠0都恒成立
∴有方程组：

a2-16a=0 16b-2ab=0 b2=0

且a≠0
∴解得：a=16，b=0
∴点M（16，0）
综上所述：存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点，
点M的坐标为：（16，0）

点评：本题主要考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的联立问题．直线与圆锥曲线的联立是高考考查圆锥曲线的一种典型题型，一般作为压轴题出现．