Question

【理科生做】已知点A、B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-1．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点（2，0）且斜率为k的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），记△ODE与△ODF面积之比为λ，求关于λ和k的关系式，并求出λ取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），由题意可得k_AM•k_BM=-1，利用斜率计算公式可得

y+1

x

•

y-1

x

=-1（x≠0），化简即可；
（2）如图所示，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），（x₁＞0＞x₂）．则

S△ODE

S△ODF

=

|DE|

|DF|

=λ=

2-x1

2-x2

．（*）
直线l的方程为y=k（x-2）（0＜y≤1）与圆的方程联立可得△＞0，再利用求根公式可得x₁，x₂，代入（*）即可．

解答：解：（1）设M（x，y），由题意可得k_AM•k_BM=-1，∴

y+1

x

•

y-1

x

=-1（x≠0），化为x²+y²=1（x≠0）．
∴点M轨迹C的方程为x²+y²=1（x≠0）；
（2）如图所示，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），（x₁＞0＞x₂）．
则

S△ODE

S△ODF

=

|DE|

|DF|

=λ．
直线l的方程为y=k（x-2）．
联立

y=k(x-2) x2+y2=1

，（0＜y≤1），化为（1+k²）x²-4k²x+4k²-1=0，
由△=16k⁴-4（1+k²）（4k²-1）＞0，及1≥y＞0，解得-

3

3

＜k＜0．
∴x=

4k2±2 1-3k2

2(1+k2)

，取x1=

2k2+ 1-3k2

1+k2

，x2=

2k2- 1-3k2

1+k2

．
∴λ=

2-x1

2-x2

=

2- 1-3k2

2+ 1-3k2

．由-

3

3

＜k＜0．
可得

1

3

＜λ＜1．

点评：熟练掌握圆的标准方程、斜率计算公式、直线与圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及利用求根公式得到实数根、函数的单调性等是解题的关键．