Question

已知定义在R上的偶函数f（x）．当x≥0时，f(x)=

-x+2

x-1

且f（1）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并画出函数的图象；
（Ⅱ）写出函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）由条件可得，当x＜0时，-x＞0，且f（-1）=0，f（x）=f（-x）=

x+2

-x-1

=-

x+2

x+1

，从而得到函数在R上的解析式，由此作出函数的图象．
（II）结合函数的图象，可得函数的值域．

解答：解：（I）由于f（x）为偶函数，当x≥0时，f(x)=

-x+2

x-1

，且f（1）=0，
故当x＜0时，-x＞0，且f（-1）=0，f（x）=f（-x）=

x+2

-x-1

=-

x+2

x+1

，
综上可得，f(x)=

-x+2 x-1 ，x∈[0，1)∪(1，+∞) 0，x∈{-1，1} - x+2 x+1 ，x∈(-∞，-1)∪(-1，0)

，
图象如图：
（II）结合函数的图象，可得函数的值域为（-∞，-2]∪（-1，+∞）．

点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，作函数的图象，属于中档题．