Question

如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．
（1）求证：PA∥平面MBD；
（2）求：A到平面PBD的距离．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于O，再连接MO，根据中位线定理可得到PA∥MO，进而可根据线面平行的判定定理可证；
（2）作QE⊥BD，连接PE，计算PE的长，利用等体积，即可得到结论．

解答：（1）证明：连AC交BD于O，连MO，则ABCD为正方形，所以O为AC中点，M为PC中点，所以MO∥PA，
又PA?平面MBD，MO?平面MBD，∴PA∥平面MBD；
（2）解：作QE⊥BD，连接PE，则
∵正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，Q为AD的中点
∴PQ⊥平面ABCD
∵QE⊥BD，∴PE⊥BD，
∵正方形ABCD的边长为4，∴PQ=2

3

，QE=

2

，BD=4

2

，∴PE=

14

设A到平面PBD的距离为d，则由等体积可得

1

3

×

1

2

×4×4×2

3

=

1

3

×

1

2

×4

2

×

14

×d
∴d=

4 21

7

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查点到平面的距离，正确运用等体积转化是关键．