Question

（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设关于x的不等式lg（|x＋3|＋|x－7|）＞a．
（1）当a＝1时，解这个不等式；
（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R．

Answer 1

（1）{x|x＜－3或x＞7}．（2）当且仅当a＜1时，对任何x∈R都成立．

解析试题分析：（1）当a＝1时，原不等式变为|x＋3|＋|x－7|＞10，
当x≥7时x+x-4＞10得：x＞7
当-3＜x＜7时，x+4-x＞10不成立
当x≤-3时-x+4-x＞10得：x＜-3
所以不等式的解集为{x|x＜－3或x＞7}．  （4分）
（2）∵|x＋3|＋|x－7|≥|x＋3－（x－7）|＝10对任意x∈R都成立，∴lg（|x＋3|＋|x－7|）≥lg10＝1对任何x∈R都成立，即lg（|x＋3|＋|x－7|）＞a，当且仅当a＜1时，对任何x∈R都成立．   （12分）
考点：本题考查绝对值不等式，恒成立的问题
点评：解决本题的关键是（1）解绝对值不等式利用零点分段的方法；（2）解决恒成立问题，可将问题转化为研究函数f（x）的最值