Question

若定义在R上的减函数y=f（x），对于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）≤-f（2y-y²）成立；且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，则当 1≤x≤4时，

y

x

的取值范围

[-

1

2

，1 ]

．

Answer 1

分析：根据函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，可知函数是奇函数，再利用在R上的减函数，转化为具体的不等式，故可解．

解答：解：根据函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
可知函数是奇函数，
所以由f（x²-2x）≤-f（2y-y²），
得f（x²-2x）≤f（-2y+y²），
∵在R上的减函数y=f（x），
∴x²-2x≥-2y+y²，

x≥y x+y≥2

，或

x≤y x+y≤2

，
这两个不等式组表示的平面区域如图所示．
∵1≤x≤4，
∴取两个不等式组表示的平面区域中的△ABC所在的区域，

y

x

指的是△ABC区域中的点与原点连线的斜率．
当x=4，y=-2时，

y

x

取得最小值-

1

2

，
当x=y时，

y

x

取得最大值1．
∴-

1

2

≤

y

x

≤1，
故答案为[-

1

2

，1]．

点评：本题主要考查函数的单调性与奇偶性，利用函数为奇函数将不等式等价变形，利用单调性，转化为具体的不等式，要注意细细体会