Question

如图在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2.
 
(1)证明：平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（2）若点P为B₁C₁的中点，求三棱锥P-ABC与四棱锥P-AA₁B₁B的体积之比.

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）1:1.

试题分析：（1）根据直线与平面垂直的性质可得,而已知，由直线与平面垂直的判定定理可得面，根据平面与平面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）由已知可知，=2是三棱锥P ABC的高，△ABC是等腰直角三角形，可计算出求三棱锥P ABC的体积.由于AC⊥平面AB₁B，点P为B₁C₁的中点，可知点P到平面距离等于点到平面的距离的一半,计算出四棱锥P AA₁B₁B的体积即可求解.
试题解析：证明：（1）由题意得：平面ABC，
∴,      2分
又，
∴AC垂直平面AB₁B，      3分
∵面，∴平面平面；      5分
（2）在三棱锥中，因为，
底面是等腰直角三角形，

又因为点P到底面的距离=2，所以.      6分
由（1）可知AC⊥平面AB₁B，
因为点P在B₁C₁的中点，
所以点P到平面AA₁B₁B距离h₂等于点C₁到平面AA₁B₁B的距离的一半，即h₂=1.      8分
,      10分
所以三棱锥P ABC与四棱锥P AA₁B₁A₁的体积之比为1:1.      12分