Question

如图所示，已知△AOB中，∠AOB=

π

2

，AB=2OB=4，D为AB的中点，若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的，记二面角B-AO-C的大小为θ．
（I）若θ=

π

2

，求证：平面COD⊥平面AOB；
（II）若θ∈[

π

2

，

2π

3

]时，求二面角C-OD-B的余弦值的最小值．

Answer 1

分析：（I）欲证平面COD⊥平面AOB，先证直线与平面垂直，由题意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB，进一步易得平面COD⊥平面AOB
（Ⅱ）过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连接CG，则∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角，根据θ∈[

π

2

，

2π

3

]，我们易求出cos∠CGF的取值范围．

解答：解：（I）因为AO⊥OB，二面角B-AO-C为

π

2

，…（3分）
所以OB⊥OC，又OC⊥OA，且OA∩OB=O，OB在平面AOB内，OC在平面AOB内．
所以OC⊥平面AOB
又OC在平面COD．
所以平面AOB⊥平面COD．…（6分）
（II）当θ=

π

2

时，二面角C-OD-B的余弦值为0；…（7分）
当θ∈（

π

2

，

2π

3

]时，过B作OD的垂线，垂足为E，
过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连接CG，
则∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角．
在Rt△OCF中，CF=2sinθ，OF=-2cosθ，
在Rt△CGF中，GF=OFsin

π

3

=-

3

cosθ，CG=

4sin2θ+3cos2θ

，
所以cos∠CGF=

FG

CG

=-

3 cosθ

4sin2θ+3cos2θ

．因为θ∈（

π

2

，

2π

3

]，tanθ≤-

3

，
故0＜cos∠CGF=

3

4tan2θ+3

≤

5

5

．
所以二面角C-OD-B的余弦值的范围是[-

5

5

，0]
所以二面角C-OD-B的余弦值的最小值为-

5

5

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何问题，平面与平面垂直的性质，解决问题的关键是确定出二面角B-AO-C的平面角为∠COB，∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角．