Question

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=

1

4

（Ⅰ）求△ABC的周长；
（Ⅱ）求cos（A-C）的值．

Answer 1

分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；
（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：（I）∵c²=a²+b²-2abcosC=1+4-4×

1

4

=4，
∴c=2，
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．
（II）∵cosC=

1

4

，∴sinC=

1-cos2C

=

1-( 1 4 )2

=

15

4

．
∴sinA=

asinC

c

=

15 4

2

=

15

8

．
∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA=

1-( 15 8 )2

=

7

8

，
∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=

7

8

×

1

4

+

15

8

×

15

4

=

11

16

．

点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．