Question

根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₈；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₈．
（1）求数列x_n的通项公式；
（2）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列y_n的一个通项公式，并证明你的结论；
（3）求z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n（x∈N^*，n≤2008）．

Answer 1

分析：（1）由框图，知数列x_n中，x₁=1，x_n+1=x_n+2，由此能导出x_n．
（2）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80．由此，猜想y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2008）．然后构造成等比数列进行证明．
（3）z_n=x₁y₁+x₂y₂++x_ny_n=1×（3-1）+3×（3²-1）+5×（3³-1）++（2n-1）×（3ⁿ-1）=1×3+3×3²+5×3³++（2n-1）×3ⁿ-（1+3+5++2n-1）然后用错位相减法进行求解．

解答：解：（1）由框图，知数列x_n中，x₁=1，x_n+1=x_n+2
∴x_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*，n≤2008）（4分）
（2）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80
由此，猜想y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2008）．
证明：由框图，知数列y_n中，y_n+1=3y_n+2，
∴y_n+1+1=3（y_n+1）
∴

yn+1+1

yn+1

=3，y1+1=3.
∴数列y_n+1是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴y_n+1=3ⁿ，
∴y_n=3ⁿ-1（n∈N^*，n≤2008）；（9分）
（3）z_n=x₁y₁+x₂y₂++x_ny_n=1×（3-1）+3×（3²-1）+5×（3³-1）++（2n-1）×（3ⁿ-1）
=1×3+3×3²+5×3³++（2n-1）×3ⁿ-（1+3+5++2n-1）
记S_n=1×3+3×3²+5×3³++（2n-1）×3ⁿ①
则3S_n=1×3²+3×3³+5×3⁴++（2n-1）×3ⁿ⁺¹②
①-②，得-2S_n=3+2×3²+2×3³+2×3⁴++2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹-2Sn=

3(1-3n)

1-3

-3-(2n-1)3n+1
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3，
又1+3+5++2n-1=n²
∴z_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3-n²（n∈N^*，n≤2008）．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意错位相减法和构造成法的灵活运用．