Question

设函数f(x)=cos(ωx+?)(ω＞0，-

π

2

＜?＜0)的最小正周期为π，且f(

π

4

)=

3

2

．
（1）求ω和?的值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的取值范围．
（3）写出f（x）对称中心．

Answer 1

分析：（1）利用y=cos（ωx+?）型函数的周期公式，可求得ω的值，利用f(

π

4

)=

3

2

，结合φ的范围即可求得φ的值；（2）将内层函数看做整体，求内层函数的值域，再利用余弦函数的图象和性质求函数的值域；（3）利用余弦曲线的对称中心为（kπ+

π

2

，0），解方程即可得此函数的对称中心

解答：解：（1）∵f(x)=cos(ωx+?)(ω＞0，-

π

2

＜?＜0)的最小正周期为π
∴

2π

ω

=π，ω=2
∵f(

π

4

)=

3

2

，∴cos(2×

π

4

+?)=

3

2

      (-

π

2

＜?＜0)
∴sinφ=-

3

2

，又-

π

2

＜φ＜0
∴φ=-

π

3

（2）f(x)=cos(2x-

π

3

)
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
∴-

1

2

≤f（x）≤1
（3）由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z
得x=

1

2

kπ+

5π

12

，k∈Z
∴f（x）对称中心为（

1

2

kπ+

5π

12

，0）

点评：本题考查了y=cos（ωx+?）型函数的图象和性质，其周期公式和解析式的确定，函数值域的求法，对称中心的求法，整体代换的思想方法