Question

如图，在三棱锥V-ABC中，VA⊥平面ABC，∠ABC=90°，且AC=2BC=2VA=4．
（1）求证：平面VBA⊥平面VBC；
（2）求：V_V-ABC．

Answer 1

分析：（1）依题意，可证BC⊥平面VBA，从而可得平面VBA⊥平面VBC；
（2）由（1）知BC⊥平面VBA，由题意可求得AB=2

3

，BC=2，VA=2，从而可求得V_V-ABC．

解答：证明：（1）∵VA⊥平面ABC，
∴VA⊥BC，（2分）
又∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，（3分）
∴BC⊥平面VBA（5分）
∴平面VBA⊥平面VBC；（7分）
（2）∵∠ABC=90°，AC=2BC=2VA=4，
∴VA=VB=2（8分）
∴AB=2

3

，BC=2，VA=2（10分）
∴V_V-ABC=

1

3

×

1

2

AB•BC•VA
=

1

6

×2

3

×2×2
=

4 3

3

（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱柱的体积公式，证得BC⊥平面VBA是关键，属于中档题．