Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ．设bn=an-

1

4

×3n
（1）求证：数列{b_n}是等比数列
（2）求数列{a_n}的前n项的和
（3）设T2n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

…+

1

a2n

，求证：T_2n＜3．

Answer 1

证明：（1）由a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ，
得an+1=

1

4

×3n+1=-(an-

1

4

×3n)，
即bn+1=-bn•b1=a1-

3

4

=

1

4

．
∴数列{b_n}是首项为

1

4

，公比为-1的等比数列．
（2）由bn=

1

4

×(-1)n-1，
得an-

1

4

× 3n =

1

4

×(-1)n-1，
an=

1

4

×3n+

1

4

×(-1)n-1=

1

4

×[3n+(-1) n-1]
S_n=[3+3²+3³+…+3ⁿ+（-1）⁰+（-1）¹+（-1）¹+（-1）²+…+（-1）^n-1]
=

1

4

[

3n+1-3

2

+

1+(-1)n+1

2

]．
证明：（3）T2n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

=4(

1

3+1

+

1

3 2-1

+

1

3 3+1

+

1

3 4-1

…+

1

3 2n-1+1

+

1

3 2n-1

)
=4[(

1

3+1

+

1

3 3+1

+…+

1

3 2n-1+1

)+(

1

3 2-1

+

1

3 4-1

+…+

1

3 2n-1

)]
＜4[(

1

3

+

1

3 3

+…+

1

3 2n-1

)+(

1

3 2-1

+

1

3 4-1

+…+

1

3 2n-1

)]
∵3²ⁿ-1＞3^2n-1，（n∈N^*），
∴

1

3 2n-1

＜

1

3 2n-1

，(n∈N*)，
∴T2n＜8(

1

3

+

1

3 2

+…+

1

3 2n-1

)
=8×

1 3 (1- 1 9n )

1- 1 9

=3（1-

1

9n

）＜3．