Question

已知函数g(x)=

4x-n

2x

是奇函数，f（x）=lg（10^x+1）+mx是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）设h(x)=f(x)+

1

2

x，若g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数g（x）是奇函数，且在x=0处有意义，得g（0）=0，解得m，f（x）是偶函数利用f（-x）=f（x）解得n，从而得m+n的值．
（2）g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立即lg（2a+2）小于2^x-2^-x的最小值，利用单调性的定义探讨该函数的单调性即可的其最小值，将恒成立问题转化为函数的最值问题，解不等式组即可的a的范围．

解答：解：（1）∵g（x）为奇函数，且定义域为R∴g（0）=

1-n

1

=0，解得n=1
∵f（x）=lg（10^x+1）+mx是偶函数．
∴f（-x）=lg（10^-x+1）-mx=lg

10x+1

10x

-mx=lg（10^x+1）-x-mx=lg（10^x+1）-（m+1）x
=f（x）=lg（10^x+1）+mx∴m=-（m+1），∴m=-

1

2

∴m+n=

1

2

（2）∵h(x)=f(x)+

1

2

x=lg（10^x+1） 
∴h[lg（2a+1）]=lg[10^lg（2a+1）+1]=lg（2a+2）
∵g(x)=

4x-1

2x

=2^x-2^-x
∴g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立即lg（2a+2）＜2^x-2^-x对任意x≥1恒成立
取x₁＞x₂≥1，则g（x₁）-g（x₂）=（2 x1 -2x2）

2x1•2x2-1

2x1•2x1

＞0
即当x≥1时，g（x）是增函数，∴g（x）_min=f（1）=

3

2

由题意得2a+2＜10

3

2

，2a+1＞0，2a+2＞0，
解得-

1

2

＜a＜5

10

-1
即a的取值范围是{a|-

1

2

＜a＜5

10

-1}

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，单调性的判断和证明，在探讨不等式恒成立时注意条件的转化，考虑定义域．是中档题．