Question

在一次射击比赛中，某人向目标射击4次，每次击中目标的概率为

2

3

，该目标分为红、蓝、黄三个区域，三个区域面积之比为2：3：5，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
（1）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列及数学期望；
（2）若目标被击中2次，A表示事件“红色区域至少被击中1次或蓝色区域被击中2次”，求P（A）．

Answer 1

分析：（1）由题意知目标被击中的次数X的取值是0、1、2、3、4，当X=0时表示四次射击都没有击中，当X=1时表示四次射击击中一次，以此类推，理解变量取值不同时对应的事件，用独立重复试验概率公式得到概率，写出分布列，算出数学期望；
（2）红色区域至少被击中1次或蓝色区域被击中2次所表示的事件，记出事件，根据事件之间的互斥关系，表示出事件，用相互独立事件同时发生和互斥事件的概率公式，得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，X的取值为0，1，2，3，4．
P（X=0）=

C

0 4

(

1

3

)4=

1

81

，P（X=1）=

C

1 4

(

1

3

)3(

2

3

)=

8

81

．
P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

，P（X=3）=

C

3 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

．
P（X=4）=

C

4 4

(

2

3

)4=

16

81

．    …（4分）
即X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

…（5分）
EX=4×

2

3

=

8

3

．    …（6分）
（Ⅱ）设A₁表示事件“第一次击中目标时，击中红色区域”，A₂表示事件“第二次击中目标时，击中蓝色区域”，B₁表示事件“第二次击中目标时，击中红色区域”，B₂表示事件“第二次击中目标时，击中蓝色区域”
依题意可知P（A₁）=P（B₁）=0.2，P（A₂）=P（B₂）=0.3．…（8分）
A=A₁

.

B1

∪

.

A1

B₁∪A₁B₁∪A₂B₂
∴P（A）=P（A₁

.

B1

）+P（

.

A1

B₁）+P（A₁B₁）+P（A₂B₂）
=0.2×0.8+0.8×0.2+0.2×0.2+0.3×0.3
=0.45．    …（12分）

点评：本题考查离散型随机变量和相互独立事件的概率以及互斥事件的概率，解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布．