Question

已知函数f（x）=t（

1

x

-1）+lnx，t为常数，且t＞0．
（1）若曲线y=f（x）上一点（

1

2

，y0）处的切线方程为2x+y-2+ln2，求t和y₀的值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数的导数，然后根据条件列方程组

y0+2× 1 2 +ln2-2=0 f′( 1 2 )=-2

并解方程组即可求出结果；
（2）由f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数?f'（x）≥0在x∈[1，+∝）上恒成立，然后分离参数t≤x恒成立，进而根据x≥1，求出t的范围．

解答：解：（1）∵f（x）=t（

1

x

-1）+lnx
∴f'（x）=

x-t

x2

由题意知

y0+2× 1 2 +ln2-2=0 f′( 1 2 )=-2

解得：

t=1 y0=1-ln2

（2）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数
则f'（x）≥0在x∈[1，+∝）上恒成立，即t≤x恒成立
∵x≥1
∴t≤1
又∵t＞0
∴0＜t≤1

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求切线方程，（2）问中将问题转化成f'（x）≥0在x∈[1，+∝）上恒成立，是解题的关键，属于中档题．