Question

已知函数，m为正整数．
（I）求f（1）+f（0）和f（x）+f（1﹣x）的值；
（II）若数列{a_n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{a_n}的前m项和S_m；
（III）设数列{b_n}满足：，b _n+1=b_n²+b_n，设，若（Ⅱ）中的S_m满足对任意不小于3的正整数n，恒成立，试求m的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）=1；
f（x）+f（1﹣x）===1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即=1，
∴a_k+a _m﹣k=1，
由S_m=a₁+a₂+a₃+...+a _m﹣1+a_m，①
得S_m=a _m﹣1+a _m﹣2+a _m﹣3+...+a₁+a_m，②
由①+②，得2S_m=（m﹣1）×1+2a_m，
∴，
（Ⅲ）∵，b _n+1=b_n²+b_n=b_n（b _n+1），
∴对任意的n∈N*，b_n＞0．
∴，即．
∴+…+．
∵b _n+1﹣b_n=b_n²＞0，
∴b _n+1＞b_n，∴数列{b_n}是单调递增数列．
∴T_n关于n递增．当n≥3，且n∈N⁺时，T_n≥T₃．∵
∴．
∴，
∴m＜650. 5，而m为正整数，
∴m的最大值为650．