Question

已知直线l过点M（-3，-3），圆N：x²+y²+4y-21=0，l被圆N所截得的弦长为4

5

．
（1）求点N到直线l的距离；
（2）求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设直线l与圆N交于A和B两点，过N作ND垂直于AB，根据垂径定理得到D为AB中点，把圆N的方程化为标准方程，找出圆心N的坐标和半径r，由|AB|的长，得到|DB|的长，再由半径r的值，利用勾股定理求出|ND|的长，即为N到直线l的距离；
（2）若直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x=-3，求出此时|AB|的长，发现与已知的弦长不相等，推出矛盾，故直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，再根据直线l过M点，表示出直线l的方程，由（1）得到N到直线l的距离，再利用点到直线的距离公式表示出圆心N到设出的直线l的距离，进而列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l的方程．

解答：解：（1）设直线l与圆N交于A，B两点（如图）
作ND⊥AB交直线l于点D，显然D为AB的中点，…（2分）
由x²+y²+4y-21=0化为标准方程得：x²+（y+2）²=25，
∴圆心N（0，-2），r=5，…（4分）又|AB|=4

5

，
∴|ND|=

r2-( |AB| 2 )2

=

5

，即点N到直线l的距离为

5

；…（6分）
（2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-3，
∴N到l的距离为3，又圆N的半径为5，
易知

|AB|

2

=4，即|AB|=8≠4

5

，不符合题意，
故直线l的斜率存在；…（8分）
于是设直线l的方程为：y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0，
∴圆心N（0，-2）到直线l的距离d=

|-(-2)+3k-3|

1+k2

=

|3k-1|

1+k2

，①
由（1）知，d=

5

，②…（10分）
由①②可以得到k=2，或k=-

1

2

，
则直线l的方程为2x-y+3=0或x+2y+9=0．…（12分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，利用了分类讨论及数形结合的数学思想，是一道综合性较强的中档题．当直线与圆相交时，常常由作出弦心距，利用垂径定理得到垂足为弦的中点，进而由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．