Question

（本小题满分16分）

已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足

，．数列满足，为数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有

的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（法一）在中，令，，

得   即        ………………………2分

解得，，

又时，满足， ………………3分

，

．   ………………5分

（法二）是等差数列，

．       …………………………2分

由，得 ，                        

又，，则．     ………………………3分

(求法同法一)

（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．    …………………………………6分

 ，等号在时取得．            

此时 需满足．              …………………………………………7分

②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．      …………………………………8分

 是随的增大而增大， 时取得最小值．

此时 需满足．            …………………………………………9分

综合①、②可得的取值范围是． ………………………………………10分

（3），

     若成等比数列，则，

即．                           ………………………12分

由，可得，即，

．                 ……………………………………14分

又，且，所以，此时．

因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．…16分

[另解：因为，故，即，

，（以下同上）．    ……………………………………14分]

 

【解析】略