Question

已知定义的R上的函数f（x）满足f（x）=f（4-x），又函数f（x+2）在[0，+∞）单调递减．
（1）求不等式f（3x）＞f（2x-1）的解集；
（2）设（1）中的解集为A，对于任意t∈A时，不等式x²+（t-2）x+1-t＞0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中定义的R上的函数f（x）满足f（x）=f（4-x），可得直线x=2是函数图象的对称轴，又函数f（x+2）在[0，+∞）单调递减我们易判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性可将不等式f（3x）＞f（2x-1）转化为一个绝对值不等式，进而得到答案．
（2）由（1）易得参数t的取值范围，根据二次函数的图象和性质，我们可以构造出关于x的不等式组，解不等式组即可求出实数x的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=f（4-x）∴f（x）图象关于直线x=2对称
又∵f（x+2）在[0，+∞）上单调递减
∴f（x）在[2，+∞）上单调递减
∴不等式f（3x）＞f（2x-1）等价于：|3x-2|＜|2x-1-2|?（3x-2）²＜（2x-3）²?（5x-5）（x+1）＜0?-1＜x＜1
∴原不等式的解集为（-1，1）
（2）令g（t）=（x-1）t+（x²-2x+1）是关于t的函数．
∵t∈（-1，1）时，不等式x²+（t-2）x+（1-t）＞0恒成立
即使g（t）＞0在t∈（-1，1）上恒成立
当x≠1时，

g(-1)≥0 g(1)≥0

?

x2-3x+2≥0 x2-x≥0

?

x≤1或x≥2 x≤0或x≥1

?x≤0或x=1或x≥2
∴x≤0或x≥2
当x=1时，0＞0恒不成立，∴x≠1
综上，x∈（-∞，0]∪[2，+∞]

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，二次函数的性质，其中（1）的关键是判断出函数图象的对称轴，进而判断出函数的单调性，（2）的关键是将不等式恒成立问题转化为解不等式组问题．