Question

（本题满分14分）已知函数 
（1）若函数在区间上存在极值，其中a >0，求实数a的取值范围；
（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证:。

Answer 1

(1)
(2)
(3)略

（2）不等式即为 记
所以           …………  6分
令，则， ，在上单调递增，                            
，从而， 故在上也单调递增，…………   8分                       
所以，所以 .                    ………… 9分
（3）由（2）知：恒成立，即，
令，则，              ………… 11分
所以 ,
，
，
…  …  
，                              
叠加得：
=n-2(1-)＞n-2+＞n-2 .          ………… 13分
则，所以[(n+1)!]²＞(n+1).e^n-2(n∈N^*)…………  14分