Question

已知在数列{a_n}中，a_n≠0，（n∈N^*）．求证：“{a_n}是常数列”的充要条件是“{a_n}既是等差数列又是等比数列”．

Answer 1

分析：先证明必要性：若{a_n}是常数列，且a_n=a≠0，证数列{a_n}是等差数列
充分性：若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则有：

2an+1=an+an+2 an+12= anan+2

，整理可证为常数

解答：证明：必要性：若{a_n}是常数列，且a_n≠0，（n∈N^*）．
设a_n=a≠0（n∈N^*），
显然数列{a_n}是以a为首项，以0为公差的等差数列，且{a_n}是以a为首项，以1为公比的等比数列．
充分性：若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则对任意n∈N^*都有：

2an+1=an+an+2 an+12= anan+2

，可得(

an+an+2

2

)2 =anan+2，整理得(an-an+2) 2=0，
∴a_n=a_n+2=a_n+1．∴{a_n}是常数列．
综上所述，“{a_n}是非零常数列”的充要条件是“{a_n}既是等差数列又是等比数列”．

点评：本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的判断，充分条件与必要条件的判断，属于知识的简单应用．