Question

如图所示,直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂点N∈l₁，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3且|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

Answer 1

思路解析：由曲线的定义确定曲线C的形状，待定系数法求轨迹方程.

解法一：（待定系数法）建立如图8-6-7坐标系，以l₁为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点.

依题意知曲线段C是以点N为焦点,以l₂为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为C的端点.

设曲线段C的方程y²=2px（p＞0）(x_A≤x≤x_B,y＞0),其中x_A、x_B分别为A、B的横坐标,p=|MN|.

所以M(-,0),N(,0).

由|AM|=,|AN|=3得

(x_a+)²+2px_A=17,                                                            ①

(x_a-)²+2px_A=9.                                                              ②

由①②两式联立解得x_a=.再次其代入①式并由p＞0解得

或

因为△AMN是锐角三角形,所以＞ｘ_a.

故舍去因此

由点B在曲线段C上,得x_B=|BN|=-=4.

综上,得曲线段C的方程为y²=8x(1≤x≤4,y＞0).

解法二：(直接法)如图,建立坐标系,分别以l₁、l₂为x轴、y轴，M为坐标原点.

作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分别为E、D、F.

设A（x_A，y_A），B（x_B,y_B）,N(x_N,0).

依题意，有x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3，

y_A=|DM|==2.

由于△AMN为锐角三角形，故有x_N=|ME|+|EN|

=|ME|+=4.

x_B=|BF|=|BN|=6.

设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知|PN|²=x².

∴(x-x_N)²+y²=x²,x_A≤x≤x_B,y＞0.

故曲线段C的方程为y²=8(x-2)(3≤x≤6,y＞0).

解法三：以l₁为x轴,线段MN的中点为原点,建立坐标系如下图所示,由抛物线定义知C所在曲线方程为y²=2px.

过A、B分别作垂直于l₁、l₂的线段，则点F在MN上，

p=|MN|

=|MF|+|FN|

=|AE|+

=|AN|+）

=3+

=3+=4.

又|OF|=|MF|-|MO|=3-2=1，|OK|=|MK|-|MO|=6-2=4，

∴曲线段C的方程是y²=8x(1≤x≤4,y＞0).