Question

已知各项均不相同的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，求T₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列，建立方程组，求出首项与公差，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法，即可求得T₂₀₁₃的值．

解答：解：（Ⅰ）设公差为d，则
∵等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列
∴

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

又d≠0，解得d=1，a₁=2，
∴a_n=n+1；
（Ⅱ）∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

∴T₂₀₁₃=

2013

4030

．

点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．