Question

已知F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，记动点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）曲线E的一条切线为l，过F₁，F₂作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F₁M|•|F₂N|的值；
（3）曲线E的一条切线为l，与x轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时切线的斜率．

Answer 1

分析：（1）由题意可知P点轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，2a=4，2c=2

3

，由此能求出E的方程．
（2）当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F₁M|•|F₂N|=1．当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，则由题意可知，|F1M|•|F2N|=

|b2-3k2|

k2+1

=

|4k2+1-3k2|

k2+1

=1，所以|F₁M|•|F₂N|=1．
（3）由（2）知，|AB|=

b2 k2 +b2

=

4k2+1 k2 +4k2+1

=

1 k2 +4k2+5

≥

2 1 k2 •4k2 +5

=3，由此可求出AB的最小值为3，此时斜率为±

2

2

．

解答：解：（1）∵|F1F2|=2

3

又∵|PF1|+|PF2|=4＞2

3

∴P点轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，2a=4，2c=2

3

，
故椭圆方程为

x2

4

+y2=1
（2）①当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F₁M|•|F₂N|=1．
②当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，

x2 4 +y2=1 y=kx+b

（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0
△=（8kb）²-4（1+4k²）（4b²-4）=0，
∴b²=4k²+1，|F1M|=

|- 3 k+b|

k2+1

，|F2N|=

| 3 k+b|

k2+1

，|F1M|•|F2N|=

|b2-3k2|

k2+1

=

|4k2+1-3k2|

k2+1

=1，
综上所述，|F₁M|•|F₂N|=1．
（3）由（2）知，A(-

b

k

，0)，B(0，b)，|AB|=

b2 k2 +b2

=

4k2+1 k2 +4k2+1

=

1 k2 +4k2+5

≥

2 1 k2 •4k2 +5

=3
当且仅当

1

k2

=4k2，即k=±

2

2

时取等号
故AB²的最小值为3，此时斜率为±

2

2

点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，解题时要注意均值不等式的合理运用．