Question

判断函数f（x）=x+

1

x

的奇偶性，并证明f（x）在（1，+∞）上单调递增．

Answer 1

分析：用函数奇偶性定义证明，要注意定义域．根据单调性的定义进行证明，先任取两个变量，且确定范围，再作差变形看符号．

解答：解：函数f（x）=x+

1

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
f（-x）=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f（x），满足奇函数的定义，
∴函数f（x）为奇函数．
设x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x2+

1

x2

）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性定义，要注意奇偶性要先判断函数的定义域是否关于原点对称，利用单调性的定义作差变形时化简要到位．