Question

２１.(本题12分)

如图，已知A、B、C是长轴长为4   的椭圆上的三点，点A是长轴的右顶点，BC过椭圆中心O，且·=0，，

（1）求椭圆的方程；

（2）若过C关于y轴对称的点D作椭圆的切线DE，则AB与DE有什么位置关系？证明你的结论.

Answer 1

（1）=1．

解析:

（1）A（2，0），设所求椭圆的方程为：=1(0<b<2)

由椭圆的对称性知，|OC|=|OB|，由·=0得，AC⊥BC，

∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，

∴C的坐标为（1，1）．

∵C点在椭圆上，∴=1，∴b²=．所求的椭圆方程为=1．

（2）是平行关系D（-1，1），设所求切线方程为y-1=k（x+1）

，消去y， 

上述方程中判别式=， 又，所以AB与DE平行.