Question

已如点M（1，0）及双曲线

x2

3

-y2=1的右支上两动点A，B，当∠AMB最大时，它的余弦值为（　　）

• A．-

  1

  2

• B．

  1

  2

• C．-

  1

  3

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：根据题意，当直线MA、MB分别与双曲线相切于点A、B时，可得∠AMB取得最大值．因此设直线AM方程为y=k（x-1），与双曲线联解并利用根的判别式，解出k=

2

2

．设直线AM倾斜角为θ，得∠AMB=2θ且tanθ=

2

2

，最后利用二倍角的三角函数公式，即可算出∠AMB达到最大值时∠AMB的余弦值．

解答：解：根据题意，当直线MA与双曲线相切于点A，直线MB与双曲线相切于点B时，
∠AMB取得最大值．
设直线AM方程为y=k（x-1），与双曲线消去y，得
（

1

3

-k²）x²+2k²x-k²-1=0
∵直线MA与双曲线相切于点A，
∴（2k²）²-4×（

1

3

-k²）×（-k²-1）=0，解之得k=

2

2

（舍负）
因此，直线AM方程为y=

2

2

（x-1），
同理直线BM方程为y=-

2

2

（x-1），
设直线AM倾斜角为θ，得tanθ=

2

2

，且∠AMB=2θ
∴cos2θ=

1-tan2θ

1+tan2θ

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，即为∠AMB最大时的余弦值
故选：D

点评：本题给出双曲线方程和点M（1，0），求双曲线右支上两点A、B对M的最大张角的余弦之值，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线的位置关系等知识，属于中档题．