Question

已知钝角△ABC中，AB=2，AC=1，△ABC的面积为

3

2

，则

AB

•

AC

的值为（　　）

A．2

B．-2

C．4

D．-1

Answer 1

分析：由三角形的面积公式，列式算出sinA=

3

2

，得到A=

π

3

或

2π

3

．当A=

π

3

时，利用余弦定理算出BC=

3

，从而证出
C=

π

2

，与已知条件△ABC为钝角三角形矛盾．由此可得A=

2π

3

，利用数量积的公式加以计算，可得

AB

•

AC

的值．

解答：解：∵△ABC中，AB=2，AC=1，△ABC的面积为

3

2

，
∴S=

1

2

AB×ACsinA=

3

2

，即

1

2

×2×1×sinA=

3

2

，
解之得sinA=

3

2

，结合A∈（0，π）可得A=

π

3

或

2π

3

∵当A=

π

3

时，BC=

AB2+AC2-2AB•ACcosA

=

3

，
∴此时cosC=

AC2+BC2-BC2

2AC•BC

=

3+1-4

2× 3 ×1

=0，得C=

π

2

，
这与△ABC为钝角三角形矛盾，可得A=

π

3

不符合题意．
因此A=

2π

3

，可得

AB

•

AC

=

|AB|

•

|AC|

cosA=2×1×cos

2π

3

=-1．
故选：D

点评：本题给出钝角三角形的两边和面积，求数量积

AB

•

AC

的值．着重考查了数量积计算公式、余弦定理、三角形的形状判断和三角形面积公式等知识，属于中档题．