Question

14．如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BC与AE所成的角；
（2）求直线BE和平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC与AE所成的角的大小．
（2）求出平面ABC的法向量和$\overrightarrow{BE}$，利用向量法能求出直线BE和平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点，
∴以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，1），E（0，1，0），
$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，-1），
设异面直线BC与AE所成的角为θ，
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{AE}|}$|=|$\frac{2}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴异面直线BC与AE所成的角为60°．
（2）$\overrightarrow{AB}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，-1），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
$\overrightarrow{BE}$=（-2，1，0），
设直线BE和平面ABC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-2+1+0}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{30}}{30}$．
∴直线BE和平面ABC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{30}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．