Question

在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD
都垂直于平面ABC，且BE=AB=2CD=2，点F是AE的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求面BDF与面ABC所成的角余弦值．

Answer 1

分析：（1）取AB中点G，证明 FG和CD平行且相等，得到四边形CDFG为平行四边形，可得DF∥CG，即可证得DF∥平面ABC．
（2）过B作BM平行于CG，过G作GN⊥BM，∠FNG为所求二面角的平面角，面积法求出B到CG的距离，即NG 的值，
 FG=

1

2

EB，Rt△FGN中，可求出tan∠FNG 的值．

解答：解：（1）取AB中点G，连GF，CF，则FG是△ABE的中位线，FG∥EB，
且FG=

1

2

EB．由BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2CD=2 知，CD∥EB，
CD=

1

2

EB．∴FG和CD平行且相等，故四边形CDFG为平行四边形．
∴DF∥CG，而CG在平面ABC内，DF不在平面ABC内，故DF∥平面ABC．
（2）：过B作BM平行于CG，则BM为这两个平面的交线，过G作GN⊥BM，
垂足为N，连接FN，则∠FNG为所求二面角的平面角．
NG 等于B到CG的距离，等于

BG•BC

CG

= 

1×2

5

，FG=

1

2

EB=1，
Rt△FGN中，tan∠FNG=

FG

GN

=

5

2

．

点评：本题考查证明先面平行的方法，求二面角的平面角的大小，找出二面角的平面角是解题的难点和关键．