Question

（本题满分14分）已知{ a_n }是等差数列，{ b_n }是等比数列，S_n是{ a_n }的前n项和，a₁ = b₁ = 1，．

（Ⅰ）若b₂是a₁，a₃的等差中项，求a_n与b_n的通项公式；

（Ⅱ）若a_n∈N^*，{}是公比为9的等比数列，求证：

Answer 1

解  设等差数列{ a_n }的公差为d，等比数列{ b_n }公比为q．

（Ⅰ）∵ ，∴ ，而 a₁ = b₁ = 1，则 q（2 + d）= 12．①

又 ∵ b₂是a₁，a₃的等差中项，

∴ a₁ + a₃ = 2b₂，得1 + 1 + 2d = 2q，即 1 + d = q．                                            ②

联立①，②，解得  或                  …………………… 4分

所以 a_n = 1 +（n－1）· 2 = 2n－1，b_n = 3^n－1；

或 a_n = 1 +（n－1）·（－5）= 6－5n，b_n =（－4）^n－1．       …………………… 6分

（Ⅱ） ∵ a_n∈N^*，，

∴ ，即 q^d = 3²．                     ①     …………………… 8分

由（Ⅰ）知  q ( 2 + d ) = 12，得 ．            ②

∵ a₁ = 1，a_n∈N^*，∴ d为正整数，从而根据①②知q＞1且q也为正整数，

∴ d可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3，

∴ a_n = 2n－1，．                                …………………… 10分

∴ （n≥2）．

当n≥2时，

．

显然，当n = 1时，不等式成立．故n∈N^*，．

…………………… 14分

思路2   或者利用（n≥2）从第三项开始放缩