Question

10．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点B为圆O：x²+y²=a²与y轴的交点，过点B的直线l（斜率为正）与椭圆相切于点D，并交x轴于点C，O为坐标原点，如图．
（Ⅰ）若切点坐标为D（-1，$\frac{3}{2}$），求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆O的另一交点为A，且满足$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DA}$，求椭圆E的离心率．

Answer 1

分析 （I）B（0，a），切线l的方程为：y=$\frac{a-\frac{3}{2}}{0-（-1）}$x+a，即y=$（a-\frac{3}{2}）$x+a．与椭圆方程联立可得$[{b}^{2}+{a}^{2}（a-\frac{3}{2}）^{2}]$x²+$2{a}^{3}（a-\frac{3}{2}）$x+a⁴-a²b²=0，由于直线与椭圆相切可得：△=0．由于切点D（-1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，联立解出即可．
（II）B（0，a）．设直线l的方程为：y=kx+a（k＞0），与椭圆方程联立化为（b²+a²k²）x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0，由于直线与椭圆相切，可得△=0，化为a²-b²=a²k²．解得c=ak，D（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）．直线方程与椭圆方程联立化为（1+k²）x²+2kax=0，解得A，利用$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DA}$，解出即可．

解答 解：（I）B（0，a），切线l的方程为：y=$\frac{a-\frac{3}{2}}{0-（-1）}$x+a，即y=$（a-\frac{3}{2}）$x+a．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=（a-\frac{3}{2}）x+a}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为$[{b}^{2}+{a}^{2}（a-\frac{3}{2}）^{2}]$x²+$2{a}^{3}（a-\frac{3}{2}）$x+a⁴-a²b²=0，
∵直线与椭圆相切可得：△=$4{a}^{6}（a-\frac{3}{2}）^{2}$-4$[{b}^{2}+{a}^{2}（a-\frac{3}{2}）^{2}]$（a⁴-a²b²）=0，．
化为a²-b²-${a}^{2}（a-\frac{3}{2}）^{2}$=0．
∵切点D（-1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}-{a}^{2}（a-\frac{3}{2}）^{2}=0}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）B（0，a）．
设直线l的方程为：y=kx+a（k＞0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+a}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为（b²+a²k²）x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0，
∵直线与椭圆相切，∴△=4a⁶k²-4（b²+a²k²）（a⁴-a²b²）=0，
化为a²-b²=a²k²．
解得c=ak，D（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+a}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，化为（1+k²）x²+2kax=0，
解得A$（-\frac{2ka}{1+{k}^{2}}，\frac{a-{k}^{2}a}{1+{k}^{2}}）$．
∵$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DA}$，
∴x_D=2（$\frac{-2ka}{1+{k}^{2}}$-x_D），
化为a²=3c²，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切性质、一元二次方程的解法、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．