Question

(本小题满分13分)

给出定义在(0，＋∞)上的三个函数：，，，已知在x＝1处取极值.

（Ⅰ）确定函数h(x)的单调性；

（Ⅱ）求证：当时，恒有成立；

（Ⅲ）把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h₁(x)的图象，试确定函数y＝g(x)－h₁(x)的零点个数，并说明理由.

Answer 1

（1）h(x)在(1，+∞)上是增函数，在(0，1)上是减函数（2）见解析（3）见解析

解析:

（Ⅰ）由题设，，则.             （1分）

由已知，，即.                      （2分）

于是，则.                      （3分）

由，所以h(x)在(1，+∞)上是增函数，在(0，1)上是减函数.（4分）

（Ⅱ）当时，，即.                     （5分）

欲证，只需证，即证.   （6分）

设，

则.

当时，，所以在区间(1，e²)上为增函数.           （7分）

从而当时，，即，故.    （8分）

（Ⅲ）由题设，.令，则

，即.                     （9分）

设，，则

，由，得x＞4.

所以在(4，＋∞)上是增函数，在(0，4)上是减函数.                        

又在(0，)上是增函数，在(，＋∞)上是减函数.

因为当x→0时，，.

又，，，

，则函数与的大致图象如下：                    （12分）

 

由图可知，当x＞0时，两个函数图象有2个交点，故函数y＝g(x)－h₁(x)有2个零点.（13分）