Question

11．已知函数f（x）=ax²+bx+c的图象在y轴上的截距为5，且满足下列两个条件：①f（x）=f（2-x）；②f（-1）=2f（1）．（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤20，求相应x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由纵轴上的截距是5，可得c；由f（x）=f（2-x），可得对称轴为x=1，再由f（-1）=2f（1），可得a，b的关系式，解方程即可得到所求二次函数f（x）的解析式；
（2）运用因式分解法，即可得到所求x的取值集合．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c的图象在纵轴上的截距是5，
且满足f（x）=f（2-x），f（-1）=2f（1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{-\frac{b}{2a}=1}\\{a-b+c=2（a+b+c）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²-2x+5；
（2）f（x）≤20，即为x²-2x-15≤0，
即（x-5）（x+3）≤0，
解得-3≤x≤5，
则x的取值集合为[-3，5]．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，一元二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．