Question

在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是________．

Answer 1

2
分析：根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积=1，从而可得PB×PC=，故=PB×PCcos∠BPC=，由余弦定理，有：BC²=BP²+CP²-2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC²≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC．
从而≥，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．
解答：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半，
∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1，
又△PBC的面积=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．
∴=PB×PCcos∠BPC=．
由余弦定理，有：BC²=BP²+CP²-2BP×CPcos∠BPC．
显然，BP、CP都是正数，∴BP²+CP²≥2BP×CP，∴BC²≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC．
∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC=
令y=，则y′=
令y′=0，则cos∠BPC=，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减
∴cos∠BPC=时，取得最大值为
∴的最小值是
故答案为：
点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．