Question

【题目】设

.

（1）求

在

处的切线方程；

（2）令

，求

的单调区间；

（3）若任意

且

，都有

恒成立，求实数

的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）

;（2）见解析;（3）

.

【解析】试题分析: (1)先确定对应区间函数解析式，再根据导数几何意义，可得切线斜率，最后根据点斜式写切线方程，(2)先根据函数定义域去掉绝对值，再求导数，为研究导函数零点，需对导函数再次求导，利用二次求导得到导函数最大值为零，因此原函数单调递减，即得函数单调区间，（3）研究不等式恒成立问题，关键利用变量分类法进行转化：

等价于

，所以等价于

在

上是增函数，也即等价于

，再次变量分离得等价于

的最大值，最后利用导数求

最大值即可.

试题解析:

（1）

，

当

时

，∴

，

则

在

处的切线方程为

，即

.

（2）

在定义域为

，∴

，则

，

令

，则

，

由

得

，

得

，则

在

上为增函数，

在

为减函数，即

在

上为增函数，在

为减函数，

∴

，

∴

在

上为减函数；

（3）据题意，当

时，

恒成立，

∴当

时，

恒成立，

∴

在

上是增函数，

∴

，

∴

，

令

，

∴

，

∴

在

上为减函数，

∴

，

∴

.