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在△ABC中,顶点A,B,C所对三边分别是a,b,c.已知B(-1,0),C(1,0),且b,a,c成等差数列.
(I)求顶点A的轨迹方程;
(II)设直线l过点B且与点A的轨迹相交于不同的两点M、N如果满足|+|=|-|,求l的方程.
【答案】分析:(I)根据B(-1,0),C(1,0),且b,a,c成等差数列,可得b+c=4,即|AC|+|AB|=4,由椭圆定义知,顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去左右顶点),从而可得椭圆的方程;
(II)由|+|=|-|,可得=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),可得x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,分类讨论:①直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)代入椭圆方程,整理利用韦达定理,可求k的值,从而可得直线的方程;②当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=-1,M(-1,),N(-1,-),≠0,从而可得结论.
解答:解:(I)由题知得b+c=4,即|AC|+|AB|=4(定值).
由椭圆定义知,顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去左右顶点),且其长半轴长为2,半焦距为1,
于是短半轴长为
∴顶点A的轨迹方程为.    …(4分)
(II)∵|+|=|-|,
∴|+|2=|-|2,展开得=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),于是=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),
∴(x1-1,y1)•(x2-1,y2)=0,即(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,
整理得  x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0. (*)…(6分)
①直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)代入椭圆方程,消去y整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
则x1+x2=,x1x2=
由(*)式得x1x2-(x1+x2)+1+k2(x1+1)(x2+1)=0,
即(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=0,
∴(1+k2)×+(k2-1)×+k2+1=0,
整理得=0,解得k=±
∴直线l的方程为y=x+,或y=-x-.…(10分)
②当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=-1,M(-1,),N(-1,-),
=(-2,)•(-2,-)=4-3=1≠0,∴不满足题意.
综上所述,直线l的方程为y=x+,或y=-x-.…(12分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查分类讨论的数学思想,属于中档题
练习册系列答案
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(2012•绵阳三模)在△ABC中,顶点A,B,C所对三边分别是a,b,c.已知B(-1,0),C(1,0),且b,a,c成等差数列.
(I)求顶点A的轨迹方程;
(II)设直线l过点B且与点A的轨迹相交于不同的两点M、N如果满足|
CM
+
CN
|=|
CM
-
CN
|,求l的方程.

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(2012•绵阳三模)在△ABC中,顶点A,B,C所对三边分别是a,b,c已知B(-1,0),C(1,0),且b,a,c成等差数列.
(I)求顶点A的轨迹方程;
(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N,如果存在过点P(0,-
12
)的直线l,使得点M、N关于l对称,求实数m的取值范围.

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在△ABC中,顶点A,B,动点D,E满足:①;②,③共线.

(Ⅰ)求△ABC顶点C的轨迹方程;

(Ⅱ)若斜率为1直线与动点C的轨迹交与M,N两点,且,求直线的方程.

 

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.(本小题满分12分)

在△ABC中,顶点A(-1,0),B(1,0),动点D,E满足:

;②||=|=|③共线.

(Ⅰ)求△ABC顶点C的轨迹方程;

(Ⅱ) 若斜率为1直线l与动点C的轨迹交于M,N两点,且·=0,求直线l的方程.

 

 

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