Question

设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f(m)·f(n)=f(m+n)，且当x＜0时，f(x)＞1。
（1）证明：①f(0)=1；
②当x＞0时，0＜f(x)＜1；
③f(x)是R上的减函数；
（2）设a∈R，试解关于x的不等式。

Answer 1

（1）证明：①在中，
令m=n=0，得，即，
∴或，
若，则当x＜0时，有，与题设矛盾，
∴。
②当x＞0时，-x＜0，由已知得f(-x)＞1，
又，，
∴0＜＜1，
即x＞0时，0＜f(x)＜1。
③任取，则，
∵＜0，
∴＞1，又由①②及已知条件知＞0，
∴，∴在定义域R上为减函数。
（2）解：
，
又，f（x）在R上单调递减，
∴原不等式等价于≤0，
不等式可化为≤0，
当2＜3a+1，即a＞时，不等式的解集为{x|2≤x≤3a+1}；
当2=3a+1，即a=时，≤0，不等式的解集为{2}；
当2＞3a+1，即a＜时，不等式的解集为{x|3a+1≤x≤2}。