Question

如图，直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=1，DC上有一动点P，则△APC₁周长的最小值为（ ）

A．5+
B．5-
C．4+
D．4-

Answer 1

【答案】分析：不妨令CP=a，则DP=4-a，分别在直角三角形ADC中求AP，在直角三角形C₁PC求出C₁P，在直角三角形C₁CA求出C₁A，然后相交求周长．将周长表示为参数a的函数，由于a∈[0，4]，在这个区间上求出周长的最小值即可．
解答：解：DC上有一动点P，令CP=a，则DP=4-a，
由于直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=1，
∴周长S=AP+C₁P+C₁A=+=+
其中是可以看作平面直角坐标系中（a，0）与两点（4，-2）以及（0，1）两点距离和的最小值，由图形中点（a，0）恰好是过两点（4，-2）与（0，1）的直线与x轴的交点时，上式的值最小．
由两点式知过两点（4，-2）与（0，1）的直线的方程是3x+4y-4=0，其与x轴的交点是（，0），
即当a=时，的最小值为两点（4，-2）与（0，1）的距离，其值为5，故周长为5+
故选A．
点评：本题主要考查用勾股定理在直角三角形中求两点间的距离，解答本题的关键是找到所求线段存在的直角三角形，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．